Question

已知一次函数y=kx+b与双曲线y=

4

x

在第一象限交于A、B两点，A点横坐标为1，B点横坐标为4
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象指出不等式kx+b＞

4

x

的解集；
（3）点P是x轴正半轴上一点，过P点作x轴的垂线分别交直线和双曲线于M、N，△OMN的面积为1，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）反比例函数的解析式已知，把A、B坐标代入就能求得完整的坐标，代入一次函数解析式即可求得k，b的值；
（2）实际是求一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时，x的取值．应从两个函数的交点入手观察；
（3）应从两个交点的横坐标入手，分三种情况表示出△OMN的面积进行探讨．

解答：解：（1）将A点横坐标为1、B点横坐标为4分别代入双曲线y=

4

x

中，
可得A（1，4），B（4，1）；
再将A、B两点分别代入一次函数y=kx+b中，
解得：k=-1，b=5；
∴一次函数的解析式为：y=-x+5；

（2）从两个函数图象的交点看，x的取值在两个交点A、B之间时，一次函数的函数值才大于反比例函数的函数值，
∴1＜x＜4与x＜0；

（3）设点P的坐标为（t，0），分三种情况：
①0＜t＜1时，S=

1

2

t[

4

t

-（-t+5）]=

1

2

t²-

5

2

t+2，
由

1

2

t²-

5

2

t+2=1，解得t=

5± 21

2

（取加号时舍去）；
②1≤t＜4时，S=

1

2

t[（-t+5）-

4

t

]=-

1

2

t²+

5

2

t-2，
由-

1

2

t²+

5

2

t-2=1，解得t=2或3；
③t≥4时，S=

1

2

t[

4

t

-（-t+5）]=

1

2

t²-

5

2

t+2，
由

1

2

t²-

5

2

t+2=1，解得t=

5± 21

2

（取减号时舍去）；
综上可知，所求点P的坐标为（

5- 21

2

，0）或（2，0）或（3，0）或（

5+ 21

2

，0）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数的解析式需知道它上面的两个点的坐标；比较两个函数值的大小，应从交点坐标的入手观察，运用数形结合与分类讨论思想是解题的关键．