Question

【题目】如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．

（1）求BD的长；

（2）将△ADC绕D点顺时针方向旋转90°，请补充旋转后图形，并计算CD的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4+.

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；

（2）延长CB到C′，使C′B=AC，连接C′D，根据勾股定理列式求出BC的长，再根据圆内接四边形的对角互补求出∠CAD+∠DBC=180°，从而得到旋转后AD与BD重合，C点的对应点C′与B、C在同一直线上，然后判断出△C′DC为等腰直角三角形，再求出CC′，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．

解：（1）∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，

∴∠DCA=∠BCD，

∴

∴AD=BD，

∴在Rt△ABD中，AD=BD=AB=×6=3；

（2）延长CB到C′，使C′B=AC，连接C′D

在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，

∴BC=，

∵四边形ACBD是圆内接四边形，

∴∠CAD+∠DBC=180°，

∴△ADC绕D点顺时针方向旋转90°后，AD与BD重合，C点的对应点C′与B、C在同一直线上，且△C′DC为等腰直角三角形，

∵C′C=AC+BC=2+4，

∴在Rt△C′DC中，CD=C′D=C′C=4+．