Question

阅读下面的材料：
∵ax²+bx+c=0（a≠0）的根为x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

∴x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

综上所述得，设ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则有 x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．
请利用这一结论解决下列问题：
（1）若x²+bx+c=0的两根为1和3，求b和c的值．
（2）设方程2x²+3x+1=0的根为x₁、x₂，求x12+x22的值．
（3）设m、n是一元二次方程x²+3x-7=0的两个根，求m²+4m+n的值．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系得到1+3=-b，1×3=c，然后解方程即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

3

2

，x₁x₂=

1

2

，再把原式变形为（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后利用整体代入的方法计算；
（3）先根据一元二次方程解的定义得到m²+3m-7=0，即m²=-3m+7，则m²+4m+n可化为m+n+7，然后利用根与系数的关系得到m+n=-3，再利用整体代入的方法计算．

解答：解：（1）根据题意得1+3=-b，1×3=c，
所以b=-4，c=3；

（2）x₁+x₂=-

3

2

，x₁x₂=

1

2

，
原式=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-

3

2

）²-2×

1

2

=

5

4

；

（3）∵m是一元二次方程x²+3x-7=0的根
∴m²+3m-7=0，即m²=-3m+7，
∴m²+4m+n=-3m+7+4m+n
=m+n+7，
∵m、n是一元二次方程x²+3x-7=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴m²+4m+n=-3+7=4．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．