Question

已知a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
①不解方程，求a+

1

a

的值；
②根据①的结果，求

a

-

1

a

的值；
③先化简，再求值

1-2a+a2

a-1

-

a2-2a+1

a2-a

-

1

a

．

Answer 1

分析：（1）a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，则把x=a代入方程可以得到a²+1=4a，则所求的代数式即可化简；
（2）首先求得

a

-

1

a

的平方的值，然后确定a的范围，则

a

-

1

a

的值即可确定；
（3）首先对分式以及二次根式进行化简，然后进行分式的加减即可求解．

解答：解：（1）∵a是一元二次方程x²-4x+1=0的两个实数根中较小的根，
∴a²-4a+1=0，
即a²+1=4a，
则a+

1

a

=

a2+1

a

=

4a

a

=4；

（2）（

a

-

1

a

）²=a+

1

a

-2=4-2=2．
∵一元二次方程x²-4x+1=0的两个根的和是4，两根的积是1，
则0＜a＜1，
∴

a

-

1

a

=-

2

；

（3）解方程x²-4x+1=0，得：x=2±

3

，则a=2-

3

，
∴a-1＜0
∴原式=

(1-a)2

a-1

-

(a-1)2

a(a-1)

-

1

a

=a-1+

1

a

-

1

a

=a-1=1-

3

．

点评：此题主要考查的是二次根式的性质：以及一元二次方程的根与系数的关系，正确确定a的范围是关键．