题目内容

【题目】如图,在ABC中,AB=AC,点DEF分别在ABBCAC边上,且BE=CFBD=CE

1)求证:DE=EF

2)当∠A=44°时,求∠DEF的度数;

3)当∠A等于多少度时,DEF成为等边三角形?试证明你的结论.

【答案】1)见解析(2)∠DEF=68°;(3)当∠A等于60度时,DEF成为等边三角形,见解析.

【解析】

1)根据AB=AC可得∠B=C,即可求证△BDE≌△CEF,即可解题;

2)根据全等三角形的性质,得出∠BED=CFE,再根据三角形内角和定理以及平角的定义,即可求得∠DEF的度数;

3)根据△DEF为等边三角形,以及△BDE≌△CEF,可得∠C的度数,最后根据等腰三角形ABC,求得其顶角的度数.

解:(1∵AB=AC

∴∠B=∠C

△BDE△CEF中,

∴△BDE≌△CEFSAS),

∴DE=EF

2)当∠A=44°时,∠B=∠C=180°44°=68°

∵△BDE≌△CEF

∴∠BED=∠CFE

∵△CEF中,∠CEF+∠CFE=180°68°=112°

∴∠BED+∠CEF=112°

∴∠DEF=180°112°=68°

3)当∠A等于60度时,△DEF成为等边三角形.

证明:若△DEF为等边三角形,则∠DEF=60°

∴∠BED+∠CEF=120°

∵△BDE≌△CEF

∴∠BED=∠CFE

∴△CEF中,∠CEF+∠CFE=120°

∴∠C=180°120°=60°=∠B

∴△ABC中,∠A=180°60°×2=60°

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