题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:DE=EF;
(2)当∠A=44°时,求∠DEF的度数;
(3)当∠A等于多少度时,△DEF成为等边三角形?试证明你的结论.
【答案】(1)见解析(2)∠DEF=68°;(3)当∠A等于60度时,△DEF成为等边三角形,见解析.
【解析】
(1)根据AB=AC可得∠B=∠C,即可求证△BDE≌△CEF,即可解题;
(2)根据全等三角形的性质,得出∠BED=∠CFE,再根据三角形内角和定理以及平角的定义,即可求得∠DEF的度数;
(3)根据△DEF为等边三角形,以及△BDE≌△CEF,可得∠C的度数,最后根据等腰三角形ABC,求得其顶角的度数.
解:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵在△BDE和△CEF中,
,
∴△BDE≌△CEF(SAS),
∴DE=EF;
(2)当∠A=44°时,∠B=∠C=(180°﹣44°)=68°,
∵△BDE≌△CEF,
∴∠BED=∠CFE,
∵△CEF中,∠CEF+∠CFE=180°﹣68°=112°,
∴∠BED+∠CEF=112°,
∴∠DEF=180°﹣112°=68°;
(3)当∠A等于60度时,△DEF成为等边三角形.
证明:若△DEF为等边三角形,则∠DEF=60°,
∴∠BED+∠CEF=120°,
又∵△BDE≌△CEF,
∴∠BED=∠CFE,
∴△CEF中,∠CEF+∠CFE=120°,
∴∠C=180°﹣120°=60°=∠B,
∴△ABC中,∠A=180°﹣60°×2=60°.