Question

如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）

Answer 1

解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）上．
∴，
解得：，
故抛物线的解析式为：y=x²-3x；

（2）设直线OB的解析式为y=k₁x（ k₁≠0），
由点B（4，4）得
4=4 k₁，
解得k₁=1．
∴直线OB的解析式为y=x，∠AOB=45°．
∵B（4，4），
∴点B向下平移m个单位长度的点B′的坐标为（4，0），
故m=4．
∴平移m个单位长度的直线为y=x-4．
解方程组
解得：，
∴点D的坐标为（2，-2）．

（3）∵直线OB的解析式y=x，且A（3，0）．
∵点A关于直线OB的对称点A′的坐标为（0，3）．
设直线A′B的解析式为y=k₂x+3，此直线过点B（4，4）．
∴4k₂+3=4，
解得 k₂=．
∴直线A′B的解析式为y=x+3．
∵∠NBO=∠ABO，∴点N在直线A′B上，
设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x²-3x上，
∴n+3=n²-3n．
解得 n₁=，n₂=4（不合题意，舍去），
∴点N的坐标为（-，）．
如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，
则 N₁ （-，-），B₁（4，-4）．
∴O、D、B₁都在直线y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴P₁为O N₁的中点．
∴==，
∴点P₁的坐标为（-，-）．
将△P₁OD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P₁到y轴距离，点到y轴距离等于P₁到x轴距离，
∴此点坐标为：（，）．
综上所述，点P的坐标为（-，-）和（，）．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；
（2）首先求出直线OB的解析式为y=x，进而将二次函数以一次函数联立求出交点即可；
（3）首先求出直线A′B的解析式，进而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，进而求出点P₁的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．
点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识，利用翻折变换的性质得出对应点关系是解题关键．