Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，F，E分别是对角线AC，BD的中点．
求证：EF=（BC-AD）．

Answer 1

证明：方法一：
如图所示，连接AE并延长，交BC于点G．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠GBE，∠EAD=∠EGB，
又∵E为BD中点，
∴△AED≌△GEB．
∴BG=AD，AE=EG．
在△AGC中，
∵F，E分别是对角线AC，BD的中点
∴F、E是△AGC的为中位线，
∴EF∥BC，EF=GC=（BC-BG）=（BC-AD），
即EF=（BC-AD）．

方法二：如图所示，设CE、DA延长线相交于G．
∵E为BD中点，AD∥BC，易得△GED≌△CEB．
∴GD=CB，GE=CE．
在△CAG中，∵E，F分别为CG，CA中点，
∴EF=GA=（GD-AD）=（BC-AD），即EF=（BC-AD）．
分析：此题中连接AE并延长，交BC于点G或CE、DA延长线相交于G均可．根据全等三角形的判定和性质易证明EF是构造的三角形的中位线，根据三角形的中位线定理就可证明．
点评：此题关键是巧妙构造辅助线，借助全等三角形的性质可以发现三角形的中位线，运用三角形的中位线定理就可证明．