题目内容
【题目】如图,已知长方形OABC的顶点A在x轴上,顶点C在y轴上,OA=18,OC=12,D、E分别为OA、BC上的两点,将长方形OABC沿直线DE折叠后,点A刚好与点C重合,点B落在点F处,再将其打开、展平.
(1)点B的坐标是 ;
(2)求直线DE的函数表达式;
(3)设动点P从点D出发,以1个单位长度/秒的速度沿折线D→A→B→C向终点C运动,运动时间为t秒,求当S△PDE=2S△OCD时t的值.
【答案】(1)(18,12);(2)y=x﹣;(3)当S△PDE=2S△OCD时,t的值为10,,40
【解析】
(1)根据矩形的性质可得AB=OC=12,BC=AO=18,可求点B坐标;
(2)由折叠的性质可得AD=CD,∠ADE=∠CDE,根据勾股定理可求OD=5,即CD=AD=13,根据等腰三角形的性质可求CE=13,即可得点D,点E的坐标,则用待定系数法可求直线DE的函数表达式;
(3)分点P在AD上,AB上,BC上三种情况讨论,根据三角形面积的求法可求t的值.
(1)∵四边形ABCO是矩形,
∴AB=OC,BC=AO,
∵OA=18,OC=12,
∴AB=12,BC=18,
∴点B坐标(18,12)
故答案为:(18,12)
(2)∵折叠
∴AD=CD,∠ADE=∠CDE,
∵OC2+OD2=CD2,
∴144+OD2=(18﹣OD)2,
∴OD=5,
∴CD=13,点D坐标为(5,0),
∵BC∥AO,
∴∠CED=∠EDA,且∠ADE=∠CDE,
∴∠CED=∠CDE,
∴CE=CD=13,
∴点E坐标为(13,12),
设直线DE的函数表达式为y=kx+b,
∴
解得:k=,b=﹣
∴解析式y=x﹣
(3)∵S△PDE=2S△OCD,
∴S△PDE=2××OC×OD=12×5=60
当点P在AD上时,S△PDE=×PD×12=60,
∴PD=10
∴t==10,
当点P在AB上时,S△PDE=S梯形ABED﹣S△PBE﹣S△APD=108﹣×5×(12﹣AP)﹣×13×AP=60
∴AP=
∴t==
当点P在BC上时,S△PDE=×PE×12=60
∴PE=10
∴t==40
综上所述:当S△PDE=2S△OCD时,t的值为10,,40.