题目内容
如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），
AB=5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
AB=5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由A（6，0），AB=5OB，即可求得点B的坐标，又由点A，B，C在抛物线上，利用待定系数法求二次函数的解析式，然后利用配方法求得顶点坐标；
（2）由设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即-y＞0，-y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OAE=2×
×OA•|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
（3）由平行四边形OEAF的面积为24，可得方程：-4x2+28x-24=24，解此方程可求得E点坐标，然后分析OE与AE的关系，即可判定平行四边形OEAF是否为菱形；
（4）由当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，可得此时点E坐标只能（3，-3），而坐标为（3，-3）点不在抛物线上，故可判定不存在点E，使平行四边形OEAF为正方形．
（2）由设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y＜0，即-y＞0，-y表示点E到OA的距离，又由S=2S△OAE=2×
| 1 |
| 2 |
（3）由平行四边形OEAF的面积为24，可得方程：-4x2+28x-24=24，解此方程可求得E点坐标，然后分析OE与AE的关系，即可判定平行四边形OEAF是否为菱形；
（4）由当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，可得此时点E坐标只能（3，-3），而坐标为（3，-3）点不在抛物线上，故可判定不存在点E，使平行四边形OEAF为正方形．
解答：解：（1）∵点A（6，0），AB=5OB，
∴点B（1，0），
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则由题意可得：
，
解之得
，
∴所求抛物线的解析式为：y=
x2-
x+4，
∵y=
x2-
x+4=
（x-
）2-
，
∴所求抛物线的顶点坐标为：（
，-
）；
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=
x2-
x+4，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2×
×OA•|y|=-6y=-6（
x2-
x+4）=-4x2+28x-24，
自变量x的取值范围为：1＜x＜6；
（3）根据题意得：-4x2+28x-24=24，
解之，得x1=3，x2=4，
∴所求的点E有两个，分别为E1（3，-4），E2（4，-4），
∵点E1（3，-4），
∴OE=5，AE=
=5，
∴OE=AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E2（4，-4），
∴OE=4
，AE=
=3
，
∴不满足OE=AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；
（4）∵当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能（3，-3），而坐标为（3，-3）点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
∴点B（1，0），
设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则由题意可得：
|
解之得
|
∴所求抛物线的解析式为：y=
| 2 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
∵y=
| 2 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 7 |
| 2 |
| 25 |
| 6 |
∴所求抛物线的顶点坐标为：（
| 7 |
| 2 |
| 25 |
| 6 |
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y=
| 2 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S=2S△OAE=2×
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 14 |
| 3 |
自变量x的取值范围为：1＜x＜6；
（3）根据题意得：-4x2+28x-24=24，
解之，得x1=3，x2=4，
∴所求的点E有两个，分别为E1（3，-4），E2（4，-4），
∵点E1（3，-4），
∴OE=5，AE=
| (3-6)2+(-4-0)2 |
∴OE=AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E2（4，-4），
∴OE=4
| 2 |
| (4-6)2+(-4-0)2 |
| 2 |
∴不满足OE=AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；
（4）∵当OA⊥EF，且OA=EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能（3，-3），而坐标为（3，-3）点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
点评：此题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求顶点坐标、平行四边形的性质、菱形的判定以及正方形的判定等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想、方程思想与函数思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
交x轴于C（x1，0），D（x2，0）两点，（x1<x2）且
是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，连结PR。设
的面积为S，求S与a之间的函数关系式。
交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
（
）是直线
上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF．若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；
交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B.