Question

（本小题10分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙

O₁，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图12所示的平面直角坐标系，已知A，

B两点的坐标分别为A(0，2)，B(-2，0).

（1）求C，D两点的坐标.

（2）求证：EF为⊙O₁的切线.

（3）探究：如图13，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）连结DE，∵CD是⊙O₁的直径，

∴DE⊥BC，

∴四边形ADEO为矩形.

∴OE=AD=2，DE=AO=2.

在等腰梯形ABCD中，DC=AB.

∴CE=BO=2，CO=4.

∴C(4，0)，D(2，2).

（2）连结O₁E，在⊙O₁中，O₁E=O₁C，

∠O₁EC=∠O₁CE，

在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB.

∴O₁E∥AB,

又∵EF⊥AB，

∴O₁E⊥EF.

∵E在AB上，

∴EF为⊙O₁的切线

（3）解法一：存在满足条件的点P.

如右图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM,

在矩形OMPN中，ON=PM，

设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，

tan∠ABO=.

∴∠ABO=60°，

∴∠PCN =∠ABO =60°.

在Rt△PCN中，

cos∠PCN =，

即,

∴x=.

∴PN=CN·tan∠PCN=(4-)·=.

∴满足条件的P点的坐标为(，).

解法二：存在满足条件的点P，

如右图，在Rt△AOB中，AB=.

过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM,

在矩形OMPN中，ON=PM，

设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，

∵∠PCN=∠ABO，∠PCN=∠AOB=90°.

∴△PNC∽△AOB，

∴，即.

解得x=.

又由△PNC∽△AOB，得

，

∴PN= .

∴满足条件的P点的坐标为(，).

【解析】略