题目内容

(本小题10分)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.

(Ⅰ) 求证:△AMB≌△ENB;

(Ⅱ) ①当M点在何处时,AM+CM的值最小;

②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;

(Ⅲ) 当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.

 

 

【答案】

解:⑴∵△ABE是等边三角形,

∴BA=BE,∠ABE=60°.

∵∠MBN=60°,

∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.

即∠ABM=∠NBE.

又∵MB=NB,

∴△AMB≌△ENB(SAS). ………………3分

⑵①当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小. ………………5分

②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,

AM+BM+CM的值最小.                          ………………7分

理由如下:连接MN.由⑴知,△AMB≌△ENB,

∴AM=EN.

∵∠MBN=60°,MB=NB,

∴△BMN是等边三角形.

∴BM=MN.

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长. …………8分

⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,

∴∠EBF=90°-60°=30°.

设正方形的边长为x,则BF=x,EF=.

在Rt△EFC中,

∵EF2+FC2=EC2

∴(2+(x+x)2.

解得,x=(舍去负值).

∴正方形的边长为.                           ………………10分          

【解析】略

 

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