题目内容
（本小题10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
（Ⅰ） 求证：△AMB≌△ENB；
（Ⅱ） ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
（Ⅲ） 当AM＋BM＋CM的最小值为
时，求正方形的边长.
【答案】
解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠ABM＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………3分
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ………………5分
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小. ………………7分
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. …………8分
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝
x，EF＝
.
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（
）2＋（x＋x）2＝
.
解得，x＝
（舍去负值）.
∴正方形的边长为. ………………10分
【解析】略
练习册系列答案
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