Question

（本小题10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

（Ⅰ） 求证：△AMB≌△ENB；

（Ⅱ） ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

（Ⅲ） 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

 

 

Answer 1

解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.

即∠ABM＝∠NBE.

又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………3分

⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ………………5分

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM＋BM＋CM的值最小.                          ………………7分

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等边三角形.

∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. …………8分

⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，

∵EF²＋FC²＝EC²，

∴（）²＋（x＋x）²＝.

解得，x＝（舍去负值）.

∴正方形的边长为.                           ………………10分          

解析:略