Question

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点。
己知函数 (m为常数)。
（1）当=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式。

Answer 1

（1）和（2）证明见解析（3）

（1）当=0时，该函数的零点为和。 ……………………………2分
（2）令y=0，得△=
∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。
即无论取何值，该函数总有两个零点。              ………………………………6分
（3）依题意有，
由解得。
∴函数的解析式为。                   ………………………………8分
令y=0，解得
∴A()，B(4,0)
作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线的交点就是满足条件的M点。  ………………………………10分
易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）。
连结CB’，
则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（）                                ………………………………12分
设直线AB’的解析式为，则
，解得
∴直线AB’的解析式为，
即AM的解析式为。                    ………………………………14分
（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x²﹣2mx﹣2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；
（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x﹣10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式．