Question

完成下列各题：
（1）如图1，在等腰梯形ABCD中，E为底BC的中点，连接AE、DE．求证：△ABE≌△DCE．
（2）如图2，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠A=30°，BD=10，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）由于四边形BCD 是等腰梯形可得AB=CD，∠B=∠C，而E是BC中点，可知BE=CE，利用SAS可证△ABE≌△DCE；
（2）连接OC，由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=30°，利用圆周角定理可知∠COD=60°，进而可知∠D=30，利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可得OC：OD=1：2，即可得关于OB的方程，解即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC，
∴△ABE≌△DCE；

（2）解：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠D=30°，
∴

OC

OB+BD

=

OB

OB+10

=

1

2

，
解得OB=10，
即⊙O的半径为10．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、切线的性质、含有30°角的直角三角形的性质、圆周角定理，解题的关键是求出∠D=30°．