Question

如图1，直线y=-x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线于点N，连ON，且S_△OBN=10．

（1）求双曲线的解析式；
（2）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y=-2于点Q，∠FCB=∠QBC，PC=QB求平移后的直线PQ的解析式；
（3）如图3，已知A（2，0）点M为双曲线上一点，CE⊥OM于M，AF⊥OM于F，设梯形CEFA的面积为S，且AF•EF=S，求点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵当y=0时，即-x+4=0，
解得：x=4，
当x=0时，y=4，
∴点B的坐标为：（4，0），点C的坐标为（0，4），
∴OB=OC=4，
∵S_△OBN=10，
∴S_△OBN=S_△OCN+S_△OBC=10，
设点N的坐标为（x，y），
∴×4×|x|+×4×4=10，
∴x=-1，
∴y=-x+4=1+4=5，
∴点N的坐标为：（-1，5），
∴k=xy=-5，
∴双曲线的解析式为：y=-；

（2）作PE⊥y轴于E，作QF⊥x轴于F，
则∠PEC=∠QFB=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠PCB=∠QBC，
∴∠PCE=∠QBF，
在△PCE和△QBC中，
∵，
∴△PCE≌△QBF（AAS），
∴PE=QF=2，
令x=-2，则y=-=，
∴P点的坐标为：（-2，），
∵PQ∥BC，
∴设直线PQ的解析式为：y=-x+b，
将P（-2，）代入得：=2+b，
解得：b=，
∴平移后的直线PQ的解析式为：y=-x+；

（3）作AG⊥EC于G，交OC于H，作FI⊥OA于I，连接EH，
∵CE⊥EF，FA⊥EF，
∴四边形AFEG是矩形，
∴∠GAF=90°，EG=FA，
∵S=（AF+EC）•EF，AF•EF=S，
∴AF•EF=（AF•EF+EC•EF），
∴EC=2AF，
∴EG=EC，
即EG=GC，
∵GH⊥EC，
∴CH=EH，
∴∠CEH=∠ECH，
∵∠HEO+∠CEH=∠EOH+∠ECH=90°，
∴∠HEO=∠EOH，
∴EH=OH=OC=2，
∵OA=2，
∴OH=OA，
∴∠HAO=45°，
∴∠OAF=45°，
∴OI=OF=1，
∴点F的坐标为（1，-1），
设直线EF的解析式为：y=kx，
∴k=-1，
∴直线EF的解析式为：y=-x，
联立：，
解得：（舍去），．
∴点M的坐标为：（-，）．
分析：（1）由直线y=-x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，易求得点B与C的坐标，又由S_△OBN=10，即可求得点N的横坐标，继而求得点N的坐标，则可求得双曲线的解析式；
（2）首先作PE⊥y轴于E，作QF⊥x轴于F，易证得△PCE≌△QBF（AAS），则可求得点P的坐标，又由PQ∥BC，利用待定系数法即可求得平移后的直线PQ的解析式；
（3）首先作AG⊥EC于G，交OC于H，作FI⊥OA于I，连接EH，由CE⊥EF，FA⊥EF，可得四边形AFEG是矩形，继而证得AG是EC的垂直平分线，然后可证得CH=EH=OH=2，即可求得OI=FI=1，则可求得点F的坐标，即可得直线EF的解析式，然后与反比例函数联立，即可求得点M的坐标．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．