Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为M（1，4），且与直线y=-ax+1相交于A，P两点，与y轴交于点Q，点A在x轴的负半轴上，且OA的长为2+

1

a

．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）若点C为抛物线上一点，以C为圆心的圆与直线y=-ax+1交于G，H，试问是否存在点C，使OG=OH？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由点A在x轴的负半轴上，且OA的长为2+

1

a

，即可得点A的坐标为：（-2-

1

a

，0），代入y=-ax+1，即可求得a的值，则可求得直线的解析式，又由抛物线y=ax²+bx+c的顶点为M（1，4），且与直线y=-ax+1相交于A，P两点，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）若OM=ON，又CM=CN，则直线OC为线段MN的中垂线，即直线OC⊥直线l，可求得直线OC的解析式，由-x=-x²+2x+3，即可求得x的值，则可得点C的坐标．

解答：解：（1）根据题意得：点A的坐标为：（-2-

1

a

，0），
代入y=-ax+1得：-a×（-2-

1

a

）+1=0，
解得：a=-1            …（2分）
∴直线解析式为y=x+1，
∴点A为（-1，0），
∵顶点为M（1，4），
∴设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²+4，
∴4a+4=0，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；                   …（5分）

（2）存在．…（7分）
若OM=ON，又CM=CN，则直线OC为线段MN的中垂线，
即直线OC⊥直线l，
可求得直线OC的解析式为y=-x，…（9分）
令-x=-x²+2x+3，解得x=

3± 21

2

，
可得 C₁（

3+ 21

2

，-

3+ 21

2

），C₂（

3- 21

2

，-

3- 21

2

）．   …（12分）

点评：此题考查了点与函数的关系，待定系数法求函数解析式以及一次函数与二次函数的交点问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．