题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a,2b,点A,D,G在y轴上,坐标原点O为AD的中点,抛物线y=mx2过C,F两点,连接FD并延长交抛物线于点M.

(1)若a=1,求m和b的值。
(2)求的值。
(3)判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系,并说明理由.

【答案】
(1)

解:(1)∵a=1,

∴正方形ABCD的边长为2,

∵坐标原点O为AD的中点,

∴C(2,1).

∵抛物线y=mx2过C点,

∴1=4m,解得m=

∴抛物线解析式为y=x2

将F(2b,2b+1)代入y=x2

得2b+1=×(2b)2,b=1±(负值舍去).

故m=,b=1+


(2)

解:∵正方形ABCD的边长为2a,坐标原点O为AD的中点,

∴C(2a,a).

∵抛物线y=mx2过C点,

∴a=m4a2,解得m=

∴抛物线解析式为y=x2

将F(2b,2b+a)代入y=x2

得2b+a=×(2b)2

整理得b2﹣2ab﹣a2=0,

解得b=(1±)a(负值舍去),

=1+


(3)

解:以FM为直径的圆与AB所在直线相切.理由如下:

∵D(0,a),

∴可设直线FD的解析式为y=kx+a,

∵F(2b,2b+a),

∴2b+a=k2b+a,解得k=1,

∴直线FD的解析式为y=x+a.

将y=x+a代入y=x2

得x+a=x2,解得x=2a±2a(正值舍去),

∴M点坐标为(2a﹣2a,3a﹣2a).

∵F(2b,2b+a),b=(1+)a,

∴F(2a+2a,3a+2a),

∴以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为(2a,3a),

∴O′到直线AB(y=﹣a)的距离d=3a﹣(﹣a)=4a,

∵以FM为直径的圆的半径r=O′F==4a,

∴d=r,

∴以FM为直径的圆与AB所在直线相切.


【解析】(1)由a=1,根据正方形的性质及已知条件得出C(2,1).将C点坐标代入y=mx2 , 求出m=,则抛物线解析式为y=x2 , 再将F(2b,2b+1)代入y=x2 , 即可求出b的值;
(2)由正方形ABCD的边长为2a,坐标原点O为AD的中点,得出C(2a,a).将C点坐标代入y=mx2 , 求出m=,则抛物线解析式为y=x2 , 再将F(2b,2b+a)代入y=x2 , 整理得出方程b2﹣2ab﹣a2=0,把a看作常数,利用求根公式得出b=(1±)a(负值舍去),那么=1+
(3)先利用待定系数法求出直线FD的解析式为y=x+a.再求出M点坐标为(2a﹣2a,3a﹣2a).又F(2a+2a,3a+2a),利用中点坐标公式得到以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为(2a,3a),再求出O′到直线AB(y=﹣a)的距离d的值,以FM为直径的圆的半径r的值,由d=r,根据直线与圆的位置关系可得以FM为直径的圆与AB所在直线相切.
此题考查了根据点的坐标和解析式求得参数,利用球根公式,待定系数法和中点坐标 公式以及点到直线距离解答相关问题。

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