题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a，2b，点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线y=mx2过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M．
（1）若a=1，求m和b的值。
（2）求
的值。
（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由．
【答案】
（1）
解：（1）∵a=1，
∴正方形ABCD的边长为2，
∵坐标原点O为AD的中点，
∴C（2，1）．
∵抛物线y=mx2过C点，
∴1=4m，解得m=
，
∴抛物线解析式为y=x2，
将F（2b，2b+1）代入y=x2，
得2b+1=×（2b）2，b=1±
（负值舍去）．
故m=，b=1+
（2）
解：∵正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，
∴C（2a，a）．
∵抛物线y=mx2过C点，
∴a=m4a2，解得m=
，
∴抛物线解析式为y=x2，
将F（2b，2b+a）代入y=x2，
得2b+a=×（2b）2，
整理得b2﹣2ab﹣a2=0，
解得b=（1±）a（负值舍去），
∴
=1+
（3）
解：以FM为直径的圆与AB所在直线相切．理由如下：
∵D（0，a），
∴可设直线FD的解析式为y=kx+a，
∵F（2b，2b+a），
∴2b+a=k2b+a，解得k=1，
∴直线FD的解析式为y=x+a．
将y=x+a代入y=x2，
得x+a=x2，解得x=2a±2a（正值舍去），
∴M点坐标为（2a﹣2a，3a﹣2a）．
∵F（2b，2b+a），b=（1+）a，
∴F（2a+2a，3a+2a），
∴以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为（2a，3a），
∴O′到直线AB（y=﹣a）的距离d=3a﹣（﹣a）=4a，
∵以FM为直径的圆的半径r=O′F=
=4a，
∴d=r，
∴以FM为直径的圆与AB所在直线相切．
【解析】（1）由a=1，根据正方形的性质及已知条件得出C（2，1）．将C点坐标代入y=mx2 ， 求出m=，则抛物线解析式为y=x2 ， 再将F（2b，2b+1）代入y=x2 ， 即可求出b的值；
（2）由正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，得出C（2a，a）．将C点坐标代入y=mx2 ， 求出m=，则抛物线解析式为y=x2 ， 再将F（2b，2b+a）代入y=x2 ， 整理得出方程b2﹣2ab﹣a2=0，把a看作常数，利用求根公式得出b=（1±）a（负值舍去），那么=1+；
（3）先利用待定系数法求出直线FD的解析式为y=x+a．再求出M点坐标为（2a﹣2a，3a﹣2a）．又F（2a+2a，3a+2a），利用中点坐标公式得到以FM为直径的圆的圆心O′的坐标为（2a，3a），再求出O′到直线AB（y=﹣a）的距离d的值，以FM为直径的圆的半径r的值，由d=r，根据直线与圆的位置关系可得以FM为直径的圆与AB所在直线相切．
此题考查了根据点的坐标和解析式求得参数，利用球根公式，待定系数法和中点坐标 公式以及点到直线距离解答相关问题。
