已知菱形ABCD的边长为1．∠EAF=∠ADC=60°.∠EAF的两边分别交边DC.CB于点E.F．当∠EAF绕点A旋转时.点E.F始终分别在边DC.CB上移动．(1)特殊发现:如图1.若点E.F分别是边DC.CB的中点．求证:菱形ABCD对角线AC.BD交点O即为△AEF的外心,(2)记△AEF的外心为点P．①如图2．求证:△AEF为等边三角形,②猜想验证:如图2．猜想△AEF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知菱形ABCD的边长为1．∠EAF=∠ADC=60°，∠EAF的两边分别交边DC、CB于点E、F．当∠EAF绕点A旋转时，点E、F始终分别在边DC、CB上移动．
（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为△AEF的外心；
（2）记△AEF的外心为点P．
①如图2．求证：△AEF为等边三角形；
②猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
（3）拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，当MN⊥AD于M时，

的值为

．

分析：（1）首先分别连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，即可得AC⊥BD，BD平分∠ADC．AO=CO，DO=BO，又由E、F分别为DC、CB中点，即可证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；
（2）①连接AC，过点A分别作AG⊥CD于G，AH⊥CB于H，然后求证△AGE≌△AHF，求出∠EAF=60°，进而求证AE=AF，即△AEF为等边三角形；
②首先分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，即可求得∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上．
（3）当AE⊥DC时，△AEF的边长最短，因而面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．由△GBP∽△MDP，即可

的值为2．

解答：

解：（1）证明：如图1，分别连接OE、0F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AO=CO，DO=BO，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=

∠ADC=

×60°=30°，
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE=

CD，OF=

BC，AO=

AD，
∴0E=OF=OA，
∴点O即为△AEF的外心；

（2）①证明：如图2，连接AC，过点A分别作AG⊥CD于G，AH⊥CB于H，

∵AC是菱形ABCD的对角线，AG⊥CD，AH⊥CB
∴AH=AG，
∵∠ADC=60°，
∴∠DCB=120°，
又∵AG⊥DC，AH⊥BC
∴∠GAH=60°，
又∵∠EAF=60°，
∴∠EAG=∠FAH
又∵AG=AH，∠AGE=∠AHF
∴△AGE≌△AHF，
∴AE=AF，
又∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形；

②猜想：外心P一定落在直线DB上．
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA，∴PI=PJ
∴点P在∠ADC的平分线上，
即点P落在直线DB上．

（3）当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P即为△AEF的外心．
如图3．设MN交BC于点G，
设DM=x，DN=y（x≠0．y≠O），则CN=y-1，