Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x₁，0）和B（x₂，0），与y轴的正半轴交于点C．如果x₁、x₂是方程x²-x-6=0的两个根（x₁＜x₂），且点C的坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）请直接写出直线AC和BC的解析式；
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设直线y=kx+2k（k＞0）与线段OC交于点D，与（1）中的抛物线交于点E，若S_△CDE=S_△AOE，请直接写出点E的坐标．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B两点坐标，再将A、B、C三点坐标代入即可求得抛物线的解析式；
（2）根据将A、B、C三点坐标即可写出直线AC和BC的解析式；
（3）根据题中已知条件可知PQ∥AB，结合三角形相似的性质求出m的值，点P在直线AC上，即可求出P点坐标和Q点坐标，进而求得R点坐标；
（4）根据三角形面积相等的性质便可直接写出点E的坐标．

解答：解：（1）解方程x²-x-6=0，
得x₁=-2，x₂=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
将A、B、C三点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c，

4a-2b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=- 1 2 b= 1 2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

1

2

x+3，

（2）直线AC的解析式：y=

3

2

x+3；（4分）
直线BC的解析式：y=-x+3．（5分）（6分）

（3）存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点E（0，m），
由（1）知：|AB|=5，|OC|=3，
∵点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3，由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，
过点P作PR₁⊥x轴于点R₁，则∠R₁PQ=90°，
|PQ|=|PR₁|=|OE|=m，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB．
∴

|PQ|

|AB|

=

|EC|

|OC|

，
即

m

5

=

3-m

3

解得m=

15

8

，
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
∵点P在直线AC上，
∴

2

3

x_P+3=

15

8

，
解得x_P=-

3

4

，
P（-

3

4

，

15

8

），
∴点R₁（-

3

4

，0）．
过点Q作QR₂⊥x轴于点R₂，则∠R₂QP=90°，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴点R₂（

9

8

，0），
所以存在满足条件的点R，他们分别是R₁（-

3

4

，0），R₂（

9

8

，0）；

（4）E（2，2）．（14分）

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形的证明及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．