Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质得CD=AD，∠CDP=∠ADP，证明△CDP≌△ADP即可；
（2）由菱形的性质得CD∥BA，可证△CPD∽△FPB，利用相似比，结合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可证A为BF的中点，又PA⊥BF，从而得出PB=PF，已证PA=CP，把问题转化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，
∴△CDP≌△ADP，
∴∠DCP=∠DAP；

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥BA，CD=BA，
∴△CPD∽△FPB，
∴

DP

PB

=

CD

BF

=

CP

PF

=

1

2

，
∴CD=

1

2

BF，CP=

1

2

PF，
∴A为BF的中点，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由（1）可知，PA=CP，
∴PA=

1

2

PB，在Rt△PAB中，
PB²=2²+（

1

2

PB）²，
解得PB=

4

3

3

，
则PD=

2

3

3

，
∴BD=PB+PD=2

3

．

点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，菱形的性质及勾股定理的运用．关键是根据菱形的四边相等，对边平行及菱形的轴对称性解题．