Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB=弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
（1）试说明：DE=BF；
（2）若∠DAB=60°，AB=6，求△ACD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据已知证明△CED≌△CFB，根据全等三角形的性质就可以题目的结论；
（2）由于AB是直径，可以得到∠ACB=90°，而∠DAB=60°，AB=6，解直角三角形ACB可以求出AC，BC，接着求出CF，BF，根据已知条件容易证明△CAE≌△CAF，所以S_△ACD=S_△ACE-S_△CDE=S_△ACF-S_△CFB，根据这个等式就可以求出△ACD的面积．

解答：（1）证明：∵弧CB=弧CD
∴CB=CD，∠CAE=∠CAB（1分）
又∵CF⊥AB，CE⊥AD
∴CE=CF（2分）
∴Rt△CED≌Rt△CFB（3分）
∴DE=BF；（4分）

（2）解：∵CE=CF，∠CAE=∠CAB
∴△CAE≌△CAF
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∵∠DAB=60°
∴∠CAB=30°，AB=6
∴BC=3
∵CF⊥AB于点F
∴∠FCB=30°
∴CF=

3

2

3

，BF=

3

2

∴S_△ACD=S_△ACE-S_△CDE=S_△ACF-S_△CFB=

1

2

•（AF-BF）•CF=

1

2

（AB-2BF）•CF=

9

4

3

．（8分）

点评：此题把角平分线，全等三角形放在圆的背景中，利用圆的有关性质和角平分线的性质来证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质解决题目的问题．