题目内容

【题目】如果方程x2+px+q=0的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2=﹣p,x1x2=q,请根据以上结论,解决下列问题:
(1)若p=﹣4,q=3,求方程x2+px+q=0的两根.
(2)已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0,b2﹣15b﹣5=0,求 + 的值;
(3)已知关于x的方程x2+mx+n=0,(n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数.

【答案】
(1)解:当p=﹣4,q=3,则方程为x2﹣4x+3=0,

解得:x1=3,x2=1


(2)解:∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0,b2﹣15b﹣5=0,

∴a、b是x2﹣15x﹣5=0的解,

当a≠b时,a+b=15,a﹣b=﹣5,

+ = = = =﹣47;

当a=b时,原式=2


(3)解:设方程x2+mx+n=0,(n≠0),的两个根分别是x1,x2

+ = =﹣ = =

则方程x2+ x+ =0的两个根分别是已知方程两根的倒数


【解析】(1)根据p=﹣4,q=3,得出方程x2﹣4x+3=0,再求解即可;(2)根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0,b2﹣15b﹣5=0,得出a,b是x2﹣15x﹣5=0的解,求出a+b和ab的值,即可求出 + 的值;(3)先设方程x2+mx+n=0,(n≠0)的两个根分别是x1 , x2 , 得出 + =﹣ = ,再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案.
【考点精析】通过灵活运用根与系数的关系,掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定;两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商即可以解答此题.

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