Question

在平面直角坐标系xOy中，点A₁，A₂，A₃，…和B₁，B₂，B₃，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA₁B₁，△B₁A₂B₂，△B₂A₃B₃，…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂，那么点A₃的纵坐标是       ，点A₂₀₁₃的纵坐标是       ．

Answer 1

，．

解析试题分析：利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出直线与x轴、y轴的交点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到各点的纵坐标的规律：
∵A₁（1，1），A₂在直线y=kx+b上，∴ ，解得.∴直线解析式为.
如图，设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为A、D.
当x=0时，y=，当y=0时，，解得x=－4.
∴点A、D的坐标分别为A（－4，0 ），D（0，）.∴.
作A₁C₁⊥x轴与点C₁，A₂C₂⊥x轴与点C₂，A₃C₃⊥x轴与点C₃，
∵A₁（1，1），A₂，∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×=2+3=5，.
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，∴A₃C₃=B₂C₃。∴.
同理可求，第四个等腰直角三角形. 依次类推，点An的纵坐标是.
∴A₃的纵坐标是，点A₂₀₁₃的纵坐标是．

考点：1.探索规律题（图形的变化类）；2.一次函数综合题；3.直线上点的坐标与方程的关系4.锐角三角函数定义；5.等腰直角三角形的性质.