Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，AE∥BC，F是AD的中点；
（1）说明AE=

1

2

BC；
（2）若AD=15，BC=8，求BE的长度．

Answer 1

分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠DBF，∠EAF=∠BDF，再根据中点定义求出AF=FD，然后利用角角边证明△EAF与△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BD，再根据等腰三角形三线合一的性质BD=

1

2

BC，从而得证；
（2）先根据中点定义求出BD、DF的长度，然后利用勾股定理求出BF的长度，BE=2BF代入进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵AE∥BC，
∴∠E=∠DBF，∠EAF=∠BDF，
∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
在△EAF与△BDF中，

∠E=∠DBF ∠EAF=∠BDF AF=FD

，
∴△EAF≌△BDF（AAS），
∴AE=BD，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC，
∴AE=

1

2

BC；

（2）由（1）得△EAF≌△BDF，
∴AF=DF，BF=EF，
∵AD=15，BC=8，
∴DF=

15

2

，BD=4，
∵△BDF是直角三角形，
∴由勾股定理得：BF=

BD2+DF2

=

42+( 15 2 )2

=

289 4

=

17

2

，
∴BE=2BF=2×

17

2

=17．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及平行线的性质，熟记各性质是解题的关键．