题目内容
【题目】(1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形,并证明:BE=CD;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有什么数量关系?简单说明理由;
(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长.
【答案】(1)
证明见解析;
(2)BE=CD,理由同(1);
(3)BE=CD=100米.
【解析】
试题分析:(1)分别以A、B为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点D,连接AD,BD,同理连接AE,CE,如图所示,由△ABD与△ACE都是等边三角形,得到三对边相等,两个角相等,都为60度,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS得到△CAD与△EAB全等,利用全等三角形的对应边相等即可得证;
(2)BE=CD,理由与(1)同理;
(3)根据(1)、(2)的经验,过A作等腰直角△ABD,连接CD,由AB=AD=100,利用勾股定理求出BD的长,由题意得到△DBC为直角三角形,利用勾股定理求出CD的长,即为BE的长.
试题解析:(1)完成图形,如图所示:
证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB,
∵在△CAD和△EAB中,
,
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴BE=CD;
(2)BE=CD,理由同(1),
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠CAD=∠EAB,
∵在△CAD和△EAB中,
,
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴BE=CD;
(3)由(1)、(2)的解题经验可知,过A作等腰直角△ABD,∠BAD=90°,
则AD=AB=100米,∠ABD=45°,
∴BD=100米,
连接CD,BD,则由(2)可得BE=CD,
∵∠ABC=45°,∴∠DBC=90°,
在Rt△DBC中,BC=100米,BD=100米,
根据勾股定理得:CD==100米,
则BE=CD=100米.