Question

【题目】在直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．

（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC=x，请用x表示线段AD的长；
（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．
（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当点C坐标为多少时直线EF∥直线BO？这时OF和直线BO的位置关系如何？请给予证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△OAB和△BCD都为等边三角形，

∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，

∴∠OBC=∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

，

∴△OBC≌△ABD（SAS），

∴AD=OC=1+x

（2）解：随着C点的变化，直线AE的位置不变．理由如下：

由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，

又∵∠BAO=60°，

∴∠DAC=60°，

∴∠OAE=60°，又OA=1，

在直角三角形AOE中，tan60°= ，则OE= ，

点E坐标为（0，﹣ ），A（1，0），

设直线AE解析式为y=kx+b，把E和A的坐标代入，得

，解得： ，

所以直线AE的解析式为y= x﹣

（3）解：根据题意画出图形，如图所示1：

∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，则EF与EA所在的直线重合，

∴点F为DE与BC的交点，

又F为BC中点，

∴A为OC中点，又AO=1，则OC=2，

∴当C的坐标为（2，0）时，EF∥OB；

这时直线BO与⊙F相切，理由如下：

∵△BCD为等边三角形，F为BC中点，

∴DF⊥BC，又EF∥OB，

∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，

故直线BO与⊙F相切

【解析】（1）根据等边三角形的性质，可得∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，根据等式的性质，可得∠OBC=∠ABD，，根据SAS得到△OBC≌△ABD，即可得到对应边AD与OC相等，由OC表示出AD即可；（2）根据全等三角形的性质，可得∠BAD=∠BOC=60°，根据等边三角形的性质，可得∠BAO=60°，根据平角定义及对顶角相等，可得∠OAE=60°，根据tan60°的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，根据待定系数法，将点A和E的坐标代入即可确定出解析式；（3）根据平行线的性质，可得EF与EA重合，根据三角形的中位线，得A为OC中点，根据线段中点的性质，可得C的坐标；根据等边三角形的性质，可得DFBC,根据平行线的性质，可得BF与OB垂直，根据切线的判定，可得答案。
【考点精析】关于本题考查的角的平分线和等边三角形的性质，需要了解从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能得出正确答案．