Question

【题目】如图，已知AB是⊙O直径，AC是⊙O弦，点D是的中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G．

（1）若过点E作⊙O的切线ME，交AC的延长线于点M（请补完整图形），试问：ME＝MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（2）在满足第（2）问的条件下，已知AF＝3，FB＝，求AG与GM的比．

Answer 1

【答案】（1）ME＝MG成立，见解析；（2）AG与GM的比为．

【解析】

（1）连接OE，并延长EO交⊙O于N，连接BC，DN；由于ME是⊙O的切线，则∠MEG=∠N，而∠MGE=∠AGF，易证得∠AGF=∠B，即∠MGE=∠B，若证ME=MG，关键就是证得∠N=∠B；可从题干入手：点D是弧ABC的中点，则弧AD=弧DBC=弧AE，所以弧DBE=弧AEC，即AC=DE，由此可证得∠N=∠B，即可得到∠MGE=∠MEG，根据等角对等边即可得证．

（2）根据相交弦定理可求得DF、EF的长，即可得到DE、AC的长，易证得△AFG∽△ACB，根据所得比例线段即可求得AG、GC的长，再由（1）证得ME=MG，可用MG分别表示出MA、MC的长，进而根据切割线定理求出MG的长，有了AG、MG的值，那么它们的比例关系就不难求出．

解：（1）ME＝MG成立，理由如下：

如图，连接EO，并延长交⊙O于N，连接BC，DN；

∵AB是⊙O的直径，且AB⊥DE，

∴，

∵点D是弧的中点，

∴弧AD=弧DBC，

∴弧AE=弧DBC，

∴弧AC=弧DBE，即AC＝DE，∠N＝∠B；

∵ME是⊙O的切线，

∴∠MEG＝∠N＝∠B，

又∵∠B＝90°﹣∠GAF＝∠AGF＝∠MGE，

∴∠MEG＝∠MGE，故ME＝MG．

（2）由相交弦定理得：DF2＝AFFB＝3×＝4，即DF＝2；

故DE＝AC＝2DF＝4；

∵∠FAG＝∠CAB，∠AFG＝∠ACB＝90°，

∴△AFG∽△ACB，

∴，即，

解得AG＝，GC＝AC﹣AG＝；

设ME＝MG＝x，则MC＝x﹣，MA＝x+，

由切割线定理得：ME2＝MCMA，即x2＝（x﹣）（x+），

解得MG＝x＝；

∴AG：MG＝：＝10：3，即AG与GM的比为．