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【题目】(2016湖北省荆州市第24题)已知在关于x的分式方程和一元二次方程(2k)x2+3mx+(3k)n=0中,k、m、n均为实数,方程的根为非负数.

(1)求k的取值范围;

(2)当方程有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程的整数根;

(3)当方程有两个实数根x1、x2,满足x1(x1k)+x2(x2k)=(x1k)(x2k),且k为负整数时,试判断|m|2是否成立?请说明理由.

【答案】(1)、k≥﹣1且k1且k2;(2)、x=0、1、2、3;(3)、不成立;理由见解析.

【解析】

试题分析:(1)、先解出分式方程的解,根据分式的意义和方程的根为非负数得出k的取值;(2)、先把k=m+2,n=1代入方程化简,由方程有两个整数实根得是完全平方数,列等式得出关于m的等式,由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和1,分别代入方程后解出即可;(3)、根据(1)中k的取值和k为负整数得出k=1,化简已知所给的等式,并将两根和与积代入计算求出m的值,做出判断.

试题解析:(1)、关于x的分式方程的根为非负数, x0且x1,

x=0,且1, 解得k≥﹣1且k1,

一元二次方程(2k)x2+3mx+(3k)n=0中2k0, k2,

综上可得:k≥﹣1且k1且k2;

(2)、一元二次方程(2k)x2+3mx+(3k)n=0有两个整数根x1、x2,且k=m+2,n=1时,

把k=m+2,n=1代入原方程得:mx2+3mx+(1m)=0,即:mx23mx+m1=0,

∴△≥0,即=(3m)24m(m1),且m0, ∴△=9m24m(m1)=m(5m+4),

x1、x2是整数,k、m都是整数, x1+x2=3,x1x2==1 1为整数,

m=1或1, 把m=1代入方程mx23mx+m1=0得:x23x+11=0, x23x=0,

x(x3)=0, x1=0,x2=3;

把m=1代入方程mx23mx+m1=0得:x2+3x2=0, x23x+2=0, (x1)(x2)=0, x1=1,x2=2;

(3)|m|2不成立,理由是:

由(1)知:k≥﹣1且k1且k2, k是负整数, k=1,

(2k)x2+3mx+(3k)n=0且方程有两个实数根x1、x2

x1+x2===m,x1x2==

x1(x1k)+x2(x2k)=(x1k)(x2k), x12x1k+x22x2k=x1x2x1kx2k+k2

x12+x22x1x2+k2 (x1+x22﹣2x1x2x1x2=k2 (x1+x223x1x2=k2

m)23×=(1)2 m24=1, m2=5, m=± |m|2不成立.

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