Question

【题目】如图，中，是的角平分线，，在边上，以为直径的半圆经过点，交于点．

(1)求证：是的切线；

(2)已知，的半径为，求图中阴影部分的面积．(最后结果保留根号和)

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）6﹣．

【解析】

（1）连接OE．根据OB＝OE得到∠OBE＝∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB＝∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C＝90°得到∠AEO＝∠C＝90°证得结论AC是⊙O的切线．

（2）连接OF，利用S阴影部分＝S梯形OECFS扇形EOF求解即可．

（1）连接OE．

∵OB=OE

∴∠OBE=∠OEB

∵BE是△ABC的角平分线

∴∠OBE=∠EBC

∴∠OEB=∠EBC

∴OE∥BC

∵∠C=90°

∴∠AEO=∠C=90°

又∵OE为半径∴AC是圆O的切线

（2）连接OF．

∵圆O的半径为4，∠A=30°，∴AO=2OE=8，

∴AE=4，∠AOE=60°，

∴AB=12，

∴BC=AB=6 AC=6，

∴CE=AC﹣AE=2．

∵OB=OF，∠ABC=60°，

∴△OBF是正三角形．

∴∠FOB=60°，CF=6﹣4=2，∠EOF=60°．

∴S梯形OECF=（2+4）×2=6． S扇形EOF=

∴S阴影部分=S梯形OECF﹣S扇形EOF=6﹣．