题目内容
如图,一次函数 的图像与 轴、轴分别相交于点 、.二次函数的图像与 轴的正半轴相交于点,与这个一次函数的图像相交于点、,.
(1) 求点的坐标;
(2)如果,求这个二次函数的解析式.
(1)点的坐标(0,3)(2)
【解析】(1)(,0),, (1分)
在Rt△中,∵,, (2分)
∴,∴点的坐标(0,3). (1分)
(2)当点在延长线上时,
∵(0,1),
∴,
∴,
∵ ,,
∴△∽△. (1分)
∴,
∴,
∴. (1分)
过点作⊥轴,垂足为,
∵ //,
∴,
∴.
∴,
∴点的坐标为(4,5). (1分)
设二次函数的解析式为,∴ (1分)
∴
∴二次函数解析式为. (1分)
当点在射线上时,同理可求得点, (2分)
二次函数解析式为. (1分)
评分说明:过点作于,当点在延长线上或点在射线上时,可用锐
角三角比等方法得(1分),(1分),另外分类有1分其余同上.
(1)先求出A点坐标为(-1,0),B点坐标为(0,1),则OA=1,OB=1,AB=,再根据正弦的定义得sin∠ACB=,而AC=,则OA=,然后根据勾股定理可计算出OC=3,从而确定点C的坐标为(0,3);
(2)分类讨论:当点D在AB延长线上时,如图1,过点D作DE⊥y轴,垂足为E,由于∠CDB=∠ACB,∠BAC=∠CAD,根据相似的判定得△ABC∽△ACD,则AD:AC=AC:AB,即AD:=:,可计算出AD=5,易得ADE为等腰直角三角形,则DE=AE=AD=×5=5,OE=4,得到点D的坐标为(4,5),然后设一般式,利用待点系数法求过A(-1,0)、C(0,3)、D(4,5)的二次函数的解析式;当点D在射线BA上,如图2,过点D作DE⊥y轴,垂足为E,与前面的解法相同.