题目内容
【题目】问题背景：在正方形ABCD的外侧，作△ADE和△DCF，连结AF、BE．
特例探究：如图①，若△ADE与△DCF均为等边三角形，试判断线段AF与BE的数量关系和位置关系，并说明理由；
拓展应用：如图②，在△ADE与△DCF中，AE=DF，ED=FC，且BE=4，则四边形ABFE的面积为 ．
【答案】(1) 特例探究：AF=BE，AF⊥BE．理由见解析；（2）拓展应用：8.
【解析】
试题分析: 特例探究：易证△ADE≌△DCF，即可证明AF与BE的数量关系是：AF=BE，位置关系是：AF⊥BE；
拓展应用：首先证得△ADE≌△CDF，由全等三角形的性质可得∠DAE=∠CDF，易得△BAE≌△ADF，可得AE=AF，同特例探究可得AF⊥BE，易得四边形ABFE的面积为：
．
试题解析：特例探究：AF=BE，AF⊥BE．
∵四边形ABCD为正方形，△ADE与△DCF均为等边三角形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC，AE=AD=CD=DF，∠DAE=∠CDF，
∴∠BAD+∠DAE=∠ADC+∠CDF，即∠BAE=∠ADF，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴AF⊥BE；
拓展应用：在△ADE与△CDF中，
∵
，
∴△ADE≌△CDF（SSS），
∴∠DAE=∠CDF，∠ADF=∠ADC+∠CDF=90°+∠CDF，∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+∠EAD，
∴∠ADF=∠BAE，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴AF=BE，∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴AF⊥BE，
∴S四边形ABFE==
×4×4=8．
