题目内容
【题目】如图,平行四边形中,
,
,∠
,点
是
的中点,点
在
的边上,若
为等腰三角形,则
的长为__________.
【答案】或
或6
【解析】
根据点P所在的线段分类讨论,再分析每种情况下腰的情况,然后利用直角三角形的性质和勾股定理分别求值即可.
解:①当点P在AB上时,由∠ABC=120°,此时只能是以∠PBE为顶角的等腰三角形,BP=BE,过点B作BF⊥PE于点F,如下图所示
∴∠FBE=∠ABC=60°,EP=2EF
∴∠BEF=90°-∠FBE=30°
∵,点
是
的中点
∴BE=
在Rt△BEF中,BF=
根据勾股定理:EF=
∴EP=2EF=;
②当点P在AD上时,过点B作BF⊥AB于F,过点P作PG⊥BC,如下图所示
∵∠ABC=120°
∴∠A=60°
∴∠ABF=90°-∠A=30°
在Rt△ABF中AF=,BF=
∴BP≥BF>BE,EP≥BF>BE
∴此时只能是以∠BPE为顶角的等腰三角形,BP=PE,
∴PG=BF=,EG=
根据勾股定理:EP=;
③当点P在CD上时,过点E作EF⊥CD于F,过点B作BG⊥CD
由②可知:BE的中垂线与CD无交点,
∴此时BP≠PE
∵∠A=60°,四边形ABCD为平行四边形
∴∠C=60°
在Rt△BCG中,∠CBG=90°-∠C=30°,CG=
根据勾股定理:BG=
∴BP≥BG>BE
∵EF⊥CD,BG⊥CD,点E为BC的中点
∴EF为△BCG的中位线
∴EF=
∴此时只能是以∠BEP为顶角的等腰三角形,BE=PE=6.
综上所述:的长为
或
或6.
故答案为:或
或6
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