题目内容

如图，D是等边△ABC的边AC的中点，点E在BC的延长线上，CE=CD，若S_△ABC= $数学公式$ cm²，则△BDE的周长是________．

（ $\text{[math]}$ ）cm
分析：根据三角形ABC为等边三角形，得到三边相等，三个内角都为60°，由D为AC中点，根据“三线合一”得到BD与AC垂直，且∠ABD=∠CBD=30°，然后在直角三角形BCD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到CD为BC的一半，然后再由CE=CD，根据“等边对等角”得到∠CDE=∠E，因为∠ACB为三角形DCE的外角，根据外角性质得到∠CDE=∠E=30°，进而利用等量代换得到∠DBE=∠E，根据“等角对等边”得到DB=DE，设CD为x，则BC=AC=2x，根据勾股定理表示出BD，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让面积等于已知的 $\text{[math]}$ 列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，进而得到BD，DE，BC及CE的长，四条边相加即可得到周长．
解答：∵D是等边△ABC的边AC的中点，
∴BD⊥AC，∠DBC=∠DBA= $\text{[math]}$ ∠ABC=30°，
∴CD= $\text{[math]}$ BC，
∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，
又∵等边三角形ABC，
∴∠ACB=60°，且为△CDE的外角，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBC=∠E，
∴DB=DE，
设CD=x，则BC=AC=AB=2x，
根据勾股定理得：BD= $\text{[math]}$ x，
则S_△ABC= $\text{[math]}$ AC•BD= $\text{[math]}$ ×2x× $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ ，
解得：x=1，即CD=CE=1，BC=2，BD= $\text{[math]}$ ，
△BDE的周长=BD+DE+BE=2BD+BC+CE=（3+2 $\text{[math]}$ ）cm．
故答案为：（3+2 $\text{[math]}$ ）cm．
点评：此题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质及三角形外角性质．将直角三角形的三边用含有同一个字母的代数式表示，利用勾股定理列方程求解是本题的关键．通过此题，让学生明白计算的方法也是研究几何图形性质，完成几何证明的有效途径之一．