Question

【题目】如图，⊙为的外接圆，，过点的切线与的延长线交于点，交于点，.

（1）判断与的位置关系，并说明理由；

（2）若，求的长.

Answer 1

【答案】（1）OE∥BC.理由见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，根据已知条件可推出，进一步得出结论得以证明；

（2）根据（1）的结论可得出∠E=∠BCD，对应的正切值相等，可得出CE的值，进一步计算出OE的值，在Rt△AFO中，设OF=3x,则AF=4x，解出x的值，继而得出OF的值，从而可得出答案．

解：（1） OE∥BC.理由如下：

连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∴∠OCE=90 ，

∴∠OCA+∠ECF=90，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠CAB．

又∵∠CAB=∠E，

∴∠OCA=∠E，

∴∠E+∠ECF=90，

∴∠EFC=180O-(∠E+∠ECF) =90．

∴∠EFC=∠ACB=90 ，

∴OE∥BC．

(2)由(1)知，OE∥BC，

∴∠E=∠BCD．

在Rt△OCE中，∵AB=12，

∴OC=6，

∵tanE=tan∠BCD=，

∴．

∴OE2=OC2+CE2=62+82，

∴OE=10

又由（1）知∠EFC =90，

∴∠AFO=90．

在Rt△AFO中，∵tanA =tanE=，

∴设OF=3x,则AF=4x．

∵OA2=OF2+AF2，即62=(3x)2+(4x)2，

解得：

∴，

∴．