Question

如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP=CQ，设PQ与AC相交于点D．
（1）当∠DQC=30°时，求AP的长．
（2）作PE⊥AC于E，求证：DE=AE+CD．

Answer 1

分析：（1）求出∠QPB=90°，关键含30度角的直角三角形性质求出BP=

1

2

BQ，代入求出即可；
（2）求出AE=EF，证△PFD≌∠QCD，推出DF=CD，即可得出答案．

解答：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=6，∠B=60°，
∵∠DQC=30°，
∴∠QPB=90°，
∴BP=

1

2

BQ，
设AP=CQ=a，
则6-a=

1

2

（6+a），
a=2，
即AP=2；

（2）
证明：过P作PF∥BC交AC于F，
则∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴AP=AF=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵PE⊥AC，AP=PF，
∴AE=EF，
∵PF∥BC，
∴∠PFD=?DCQ，
在△PFD和△QCD中

∠FDP=∠CDQ ∠PFD=∠QCD PF=CQ

∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴DF=CD，
∴DE=EF+DF=AE+CD．

点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．