Question

【题目】如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将 沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP=OA，连接PC

（1）求CD的长；

（2）求证：PC是⊙O的切线；

（3）点G为 的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交 于点F（F与B、C不重合）．问GEGF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)2;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】试题（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；

（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；

（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到GEGF=，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．

试题解析：（1）解：如图，连接OC，∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，∴OM=OA=×2=1，CD⊥OA，∵OC=2，∴CD=2CM===；

（2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，∠CMP=∠OMC=90°，∴PC===，∵OC=2，PO=2+2=4，∴==16=，∴∠PCO=90°，∴PC是⊙O的切线；

（3）解：GEGF是定值，证明如下：

如图，连接GA、AF、GB，∵点G为的中点，∴，∴∠BAG=∠AFG，又∵∠AGE=∠FGA，∴△AGE∽△FGA，∴，∴GEGF=，∵AB为直径，AB=4，∴∠BAG=∠ABG=45°，∴AG=，∴GEGF=8．