题目内容
(2005 烟台)如图所示，在平面直角坐标系中，以点
为圆心，5为半径的圆交x轴于A、B两点，过点B作
的切线，交y轴于点C，过点
作x轴的垂线MN，垂足为D，一条抛物线(对称轴与y轴平行)经过A、B两点，且顶点在直线BC上．
(1)求直线BC的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)设抛物线与y轴交于点P，在抛物线上是否存在一点Q，使四边形DBPQ为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：略
解析：
解析：
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解 这是一道代数与几何的综合题，要用数形结合的方法寻找已知与未知的联系．尤其要利用好抛物线与圆有公共的对称轴这一条件．通过几何列式求出所需线段的长度．注意，用线段表示点的坐标时，一定要加上点所在象限的符号．
(1) 如图所示，连接 ，
∵  ，MN过点 且与x轴垂直，
∴  ，OD=2， ．
∵  的半径为5，
∴ BD=AD=4．∴ OA=6，OB=2．∴ A、B的坐标分别为(－6，0)、(2，0)．∵ BC切于B，
∴  ．
∴  ．
∵  ，
∴  ．
∵  ，
∴  ．
∴  ．
∴  ．
∴点 C的坐标为 ．
设直线 BC的解析式为y=kx＋b．∴  ，
解得  ．
∴直线 BC的解析式为 ．
(2) 由圆和抛物线的对称性可知M是抛物线的对称轴，∴抛物线顶点的横坐标为－2．∵抛物线的顶点在直线  上，
∴  ，即抛物线的顶点坐标为 ．
设抛物线的解析式为 y=a(x＋6)(x－2)．把点的坐标代入y=a(x＋6)(x－2)得 ．
解得  ．
∴抛物线的解析式为  ．
(3) 由(2)得抛物线与y轴的交点P的坐标为(0，4)，若四边形DBPQ是平行四边形，则有BD∥PQ，BD=PQ，∴点Q的纵坐标为4．∵ BD=4，∴PQ=4．∴点Q的横坐标为－4．∴点Q的坐标为(－4，4)．∴当 x=－4时， ．∴点Q在抛物线上．
∴在抛物线上存在一点 Q(－4，4)，使四边形DBPQ为平行四边形． |
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