Question

(2005　烟台)(1)如图a所示，直线MN与⊙O相交，且与⊙O的直径AB垂直，垂足为P，过点P的直线与⊙O交于C、D两点，直线AC交MN于点E，直线AD交MN于点F．

a)

求证：(1)PC·PD=PE·PF；

(2)如图b所示，若直线MN与⊙O相离，(1)中的其余条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

b)

(3)在图c中，直线MN与⊙O相离，且与⊙O的直径AB垂直，垂足为P．①请按要求画出图形：画⊙O的割线PCD(PC＜PD，直线BC与MN交于E，直线BD与MN交于F．

c)

②能否得到(1)中的结论？请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解　(1)证明：如图所示，连接BD ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB=90°． ∴∠ADC＋∠BDC=90°．∵MN⊥AB， ∴∠AEP＋∠BAC=90°． ∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=∠AEP． ∵∠DPF=∠EPC，∴△PDF∽△PEC． ∴． ∴PC·PD=PE·PF． (2)结论仍然成立． 证明：如图所示，连接BD． ∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°． ∴∠ABD＋∠BAD=90°． ∵∠ACD=∠PCE，∠ABD=∠ACD， ∴∠PCE＋∠BAD=90°． ∵MN⊥AB，∴∠PFA＋∠BAD=90°． ∴∠PCE=∠PFA．∴∠EPC=∠FPD， ∴△PCE∽△PFD． ∴． ∴PC·PD=PE·PF． (3)画图(图)，结论仍然成立． 证明：如图 连接AC ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°∵AP⊥MN，∴∠BPE=90°． ∵∠ABC=∠EBP，∴∠A=∠PEB． 又∵∠D=∠A，∴∠D=∠PEB．又∠DPE公用， ∴△DPF∽△EPC．∴． ∴PC∶PD=PE∶PF．