Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．

Answer 1

证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，
∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，
在△BAE与△CDE中，
，
∴△BAE≌△CDE，
∴BE=CE；

（2）延长CD和BE的延长线交于H，
∵BF⊥CD，∠HEC=90°，
∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°
∴∠EBF=∠ECH，
又∵∠BEC=∠CEH=90°，
BE=CE（已证），
∴△BEG≌△CEH，
∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，
∵△BAE≌△CDE（已证），
∴∠AEB=∠GED，
∠HED=∠AEB，
∴∠GED=∠HED，
又∵EG=EH（已证），ED=ED，
∴△GED≌△HED，
∴DG=DH，
∴BG=DG+CD．
分析：（1）由已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，可推出△BAE≌△CDE，得证．
（2）首先延长CD和BE交点H，通过证明三角形全等，证得BG=DG+CD
点评：此题考查的知识点是等腰梯形的性质和全等三角形的判定与性质，此题的关键是由等腰梯形的性质证明三角形全等推出结论．