Question

如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
 
（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．

Answer 1

（1）12；（2）；（3）AD=或或．

试题分析：（1）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH的长，再根据勾股定理可求得AH的长，最后根据三角形的面积公式求解即可；
（2）设此时正方形的边长为a，由DE∥BC可得，即可求得结果；
（3）先根据相似三角形的性质表示出DE的长，再分当BD=DG时，当BD=BG时，当BG=DG时，三种情况根据相似三角形的性质求解即可.
（1）过A作AH⊥BC于H，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH=BC=3，
∵AH²=AB²－BH²
∴AH=4
∴S_△ABC=BC•AH=×6×4=12；
（2）设此时正方形的边长为a，
∵DE∥BC，
∴，解得a=；
（3）当AD=x时，由△ADE∽△ABC得
即，解得DE=，
当BD=DG时，5-x=，解得x=，
当BD=BG时，，解得x=，
当BG=DG时，，解得x=，
∴当△BDG是等腰三角形时，AD=或或．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．