题目内容
【题目】如图，
是
的内接三角形，AB为直径，
，
，点D为线段AC上一动点，过点D作AB的垂线交于点E，交AB于点F，连结BD，CF，并延长BD交于点H．
求的半径；
当DE经过圆心O时，求AD的长；
求证：
；
求
的最大值．
【答案】（1）5；（2）
；（3）见解析；（4）当
时，
为最大值
【解析】
由AB是直径知
，依据
及勾股定理求解可得；
由
知
，结合
为公共角可证
∽
得
，据此可得；
由∽知
，结合为
和
的公共角可证∽，依据相似三角形的性质可得答案；
连接CH，先证
∽
得
，即
，再设
，则
，
，从而得出
，利用二次函数的性质求解可得．
解：
为直径，
，
，
，
由勾股定理：
；
，
，
为和的公共角，
∽，
，
；
由可得∽，
，即，
又为和的公共角，
∽，
；
连结CH，
由知∽，
，
，
，
又
，
∽，
，即，
设，则，，
，
当时，为最大值．
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