Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积最大．

（3）已知一定点M（﹣2，0），问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+6；（2）当h＝3时，△AEF的面积最大，最大面积是 ．（3）存在，当h＝时，点D的坐标为（，）；当h＝时，点D的坐标为（，）．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）由题意可得点E的坐标为（0，h），点F的坐标为（ ，h），根据S△AEF＝OEFE＝h＝﹣（h﹣3）2+．利用二次函数的性质即可解决问题．

（3）存在．分两种情形情形，分别列出方程即可解决问题．

解：如图：

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），

∴，

解得：．

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6．

（2）∵把x＝0代入y＝﹣x2﹣x+6，得y＝6，

∴点C的坐标为（0，6），

设经过点A和点C的直线的解析式为y＝mx+n，则，

解得 ，

∴经过点A和点C的直线的解析式为：y＝2x+6，

∵点E在直线y＝h上，

∴点E的坐标为（0，h），

∴OE＝h，

∵点F在直线y＝h上，

∴点F的纵坐标为h，

把y＝h代入y＝2x+6，得h＝2x+6，

解得x＝，

∴点F的坐标为（ ，h），

∴EF＝．

∴S△AEF＝OEFE＝h＝﹣（h﹣3）2+，

∵﹣＜0且0＜h＜6，

∴当h＝3时，△AEF的面积最大，最大面积是 ．

（3）存在符合题意的直线y＝h．

∵B（2，0），C（0，6），

∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+6，设D（m，﹣3m+6）．

①当BM＝BD时，（m﹣2）2+（﹣3m+6）2＝42，

解得m＝或（舍弃），

∴D（，），此时h＝．

②当MD＝BM时，（m+2）2+（﹣3m+6）2＝42，

解得m＝或2（舍弃），

∴D（，），此时h＝．

∵综上所述，存在这样的直线y＝或y＝，使△BDM是等腰三角形，当h＝时，点D的坐标为（，）；当h＝时，点D的坐标为（，）．