题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，对“隔离直线”给出如下定义：点
是图形
上的任意一点，点
是图形
上的任意一点，若存在直线
：
满足
且
，则称直线：是图形与的“隔离直线”，如图
，直线：
是函数
的图像与正方形
的一条“隔离直线”.
（1）在直线①
，②
，③
，④
中，是图函数的图像与正方形的“隔离直线”的为 .
（2）如图
，第一象限的等腰直角三角形
的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点
的坐标是
，⊙O的半径为
，是否存在
与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；
（3）正方形
的一边在
轴上，其它三边都在轴的左侧，点
是此正方形的中心，若存在直线
是函数
的图像与正方形的“隔离直线”，请直接写出
的取值范围.
【答案】(1)①④;(2)
;(3)
或
【解析】
(1)根据的“隔离直线”的定义即可解决问题；
(2)存在，连接
，求得
与垂直且过
的直接就是“隔离直线”，据此即可求解；
(3)分两种情形正方形在x轴上方以及在x轴下方时，分别求出正方形的一个顶点在直线
上时的t的值即可解决问题．
(1)根据的“隔离直线”的定义可知
，是图1函数
的图象与正方形OABC的“隔离直线”；直线
也是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；而
与
不满足图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”的条件；
故答案为：①④；
(2)存在，
理由如下：
连接，过点作
轴于点
，如图，
在Rt△DGO中，
，
∵⊙O的半径为
，
∴点D在⊙O上．
过点D作DH⊥OD交y轴于点H，
∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．
设直线OD的解析式为
，
将点D(2，1)的坐标代入得
，
解得：
，
∵DH⊥OD，
∴设直线DH的解析式为
，
将点D(2，1)的坐标代入得
，
解得：
，
∴直线DH的解析式为
，
∴“隔离直线”的表达式为；
(3)如图：
由题意点F的坐标为(
)，
当直线
经过点F时，
，
∴
，
∴直线
，即图中直线EF，
∵正方形A1B1C1D1的中心M(1，t)，
过点
作
⊥y轴于点G，
∵点是正方形的中心，且
，
∴B1C1
，
，
∴正方形A1B1C1D1的边长为2，
当
时，
，
∴点C1的坐标是(
)，此时直线EF是函数
)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，
∴点的坐标是(-1，2)，
此时
；
当直线与
只有一个交点时，
，消去y得到
，
由
，可得
，
解得：
，
同理，此时点M的坐标为：(
)，
∴
，
根据图象可知:
当
或
时，直线是函数
)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．
全能测控期末小状元系列答案
