题目内容
在平面直角坐标系中,B(+1,0),点A在第一象限内,且∠AOB=60°,∠ABO=45°。
(1)求点A的坐标;
(2)求过A、O、B三点的抛物线解析式;
(3)动点P从O点出发,以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止,①若△POB的面积为S,写出S与时间t(秒)的函数关系;
②是否存在t,使△POB的外心在x轴上,若不存在,请你说明理由;若存在,请求出t的值。
(2)求过A、O、B三点的抛物线解析式;
(3)动点P从O点出发,以每秒2个单位的速度沿OA运动到点A止,①若△POB的面积为S,写出S与时间t(秒)的函数关系;
②是否存在t,使△POB的外心在x轴上,若不存在,请你说明理由;若存在,请求出t的值。
解:(1)过A作AC⊥OB于C,设OC=x,
在Rt△AOC中,AC=x,
在Rt△ABC中,BC=x
∵OB=+1,
∴OC+BC=OB,
∴x+x=+1,
∴x=1、AB=BC=,
∴点A(1,)。
(2)∵抛物线经过A(1,)、O(0,0)、B(,0)
设y=a(x-0)(x--1),
∴=a(-)→a=-1,
∴y=-x2+(+1)x,
即经过A、O、B三点的抛物线解析式为
y=-x2+(+1)x。
(3)①过点P作PD⊥BO于D,OP=2t,
∴PD=OPsin60°=2t·=t,
∴S=OB·PD=(+1)·t
S=t(0<t≤1)
②存在t,使△POB的外心在x轴上,即△POB的外心在OB上,
∴∠OPB=90°,
在Rt△OPB中,OP=OBcos60°=(+1),
∴OP=2t,
∴t=,
当t=时,△POB的外心在x轴上。
在Rt△AOC中,AC=x,
在Rt△ABC中,BC=x
∵OB=+1,
∴OC+BC=OB,
∴x+x=+1,
∴x=1、AB=BC=,
∴点A(1,)。
(2)∵抛物线经过A(1,)、O(0,0)、B(,0)
设y=a(x-0)(x--1),
∴=a(-)→a=-1,
∴y=-x2+(+1)x,
即经过A、O、B三点的抛物线解析式为
y=-x2+(+1)x。
(3)①过点P作PD⊥BO于D,OP=2t,
∴PD=OPsin60°=2t·=t,
∴S=OB·PD=(+1)·t
S=t(0<t≤1)
②存在t,使△POB的外心在x轴上,即△POB的外心在OB上,
∴∠OPB=90°,
在Rt△OPB中,OP=OBcos60°=(+1),
∴OP=2t,
∴t=,
当t=时,△POB的外心在x轴上。
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