Question

（2013•莒南县一模）【典型练习】如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（无需证明）
【拓展变式】小明很顺利的完成了上面的练习后，又进一步对该命题进行了发散思维，把原命题中的一些条件进行了变换，得到了如下三个不同的命题：
（1）如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）如果两个三角形有两条边和第三边上的高对应相等，那么这两个三角形全等．
（3）如果两个三角形有两条边和夹角的平分线对应相等，那么这两个三角形全等．
【探索新知】小明对这三个命题，无法判断其命题的真假，于是他向老师求教．数学老师对命题（1）做出了一些指导，请你帮助小明完成下面的解答过程．
已知：如图，AB=A′B′，AD=A′D′，AD是BC边上的中线，A′D′是B′C′边上的中线，求证：△ABC≌△A′B′C′，
证明：如图，延长AD至E使AD=DE，连接BE，延长A′D′至E′使A′D′=D′E′，连接B′E′．
【合作学习】对于命题（2）、（3），你能帮助小明判断命题的真假吗？如果是真命题，请给完整的证明，如果是假命题，在下面的空白处做出解答．（要求：画出图形，说明理由．）

Answer 1

分析：命题（1）延长AD至E使AD=DE，连接BE，延长A′D′至E′使A′D′=D′E′，连接B′E′，证△ADC≌△EDB，推出AC=EB，∠DAC=∠E，同理A′C′=E′B′，∠D′A′C′=∠E′．求出AE=A′E′，证△ABE≌△A′B′E′，求出∠BAC=∠B′A′C′，根据SAS推出△ABC≌△A′B′C′即可；举出反例图形即可判断命题（2）；证△ADC∽△EDB，推出

AD

DE

=

AC

BE

，求出

AD

DE

=

AC

AB

，同理

A′D′

D′E′

=

A′C′

A′B′

，求出AE=A′E′，证△ABE≌△A′B′E′，推出∠BAE=∠B′A′E′，求出∠BAC=∠B′A′C′，根据SAS推出△ABC≌△A′B′C′即可．

解答：解：命题（1）：
∵AD是BC边的中线，
∴BD=DC，
∵在△ADC和△EDB中

AD=DE ∠ADC=∠EDB CD=BD

∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=EB，∠DAC=∠E，
同理A′C′=E′B′，∠D′A′C′=∠E′．
∵AD=A′D′，AD=DE，A′D′=D′E′，
∴AE=A′E′，
∵在△ABE和△A′B′E′中

AB=A′B′ BE=B′E′ AE=A′E′

∴△ABE≌△A′B′E′（SSS），
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠AEB=∠A′E′B′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∵在△ABC和△A′B′C′中

AC=A′C′ ∠BAC=∠B′A′C′ AB=A′B′

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）．
即命题（1）正确；

命题（2）是假命题．
反例：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′，
△ABC与△A′B′C′不全等；

命题（3）是真命题．
如图，AB=A′B′，AC=A′C′，AD=A′D′，AD是∠BAC的角平分线，A′D′是∠B′A′C′的角平分线，
求证：△ABC≌△A′B′C′．
证明：过B点作BE∥AC交AD的延长线于点E，过B′点作B′E′∥A′C′交A′D′的延长线于点E′．
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE∥AC，
∴△ADC∽△EDB，
∴

AD

DE

=

AC

BE

，
∵AB=BE，
∴

AD

DE

=

AC

AB

，
同理

A′D′

D′E′

=

A′C′

A′B′

，
∵AB=A′B′，AC=A′C′，AD=A′D′，
∴DE=D′E′，
∴AE=A′E′，
∵在△ABE和△A′B′E′中

AB=A′B′ BE=B′E′ AE=A′E′

∴△ABE≌△A′B′E′（SSS），
∴∠BAE=∠B′A′E′，
∵AD是∠BAC的角平分线，A′D′是∠B′A′C′的角平分线，
∴2∠BAE=∠BAC，2∠B′A′E′=∠B′A′C′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∵在△ABC和△A′B′C′中

AC=A′C′ ∠BAC=∠B′A′C′ AB=A′B′

∴△ABC≌△A′B′C′（SAS），
即命题（3）正确．

点评：此题考查了相似形综合题，用到的知识点是全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质．