题目内容
22、已知方程x2+bx+c=0及x2+cx+b=0分别各有两个整数根且两根均同号，求证：b-1≤c≤b+1．
分析：通过根与系数的关系，利用反证法推出x1＜0，x2＜0；将b-1≤c≤b+1转化为c-（b-1）≥0和b≤c-1的问题即可．
解答：证明：设x1，x2，x1′，x2′，分别是两个方程的根，
先证x1＜0，x2＜0，
假设不成立，由x1＞0，x1x2＞0知x2＞0，而x1+x2=-b=-x1′x2′，与x1′x2′＞0矛盾，
故x1＜0，x2＜0；
又由于c-（b-1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）≥0，
∴c≥b-1，
由方程x2+cx+b=0，讨论可得b≤c-1，
∴b-1≤c≤b+1．
先证x1＜0，x2＜0，
假设不成立，由x1＞0，x1x2＞0知x2＞0，而x1+x2=-b=-x1′x2′，与x1′x2′＞0矛盾，
故x1＜0，x2＜0；
又由于c-（b-1）=x1x2+x1+x2+1=（x1+1）（x2+1）≥0，
∴c≥b-1，
由方程x2+cx+b=0，讨论可得b≤c-1，
∴b-1≤c≤b+1．
点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系、反证法等知识，将结论转化为两根之积与两根之和的问题即可．
练习册系列答案
相关题目
已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
| A、ab | ||
B、
| ||
| C、a+b | ||
| D、a-b |