Question

如图，已知AB是⊙O的直径，CA，DB分别与⊙O相切于点A，B，E为上⊙O的一点，连接CE并延长交BD于点D，连接OC，BE，OC∥BE．若AB=3，AC=1，BD=

9

4

（1）求OC与OD的长分别是多少？
（2）求证：CD是⊙O切线；
（3）求证：△COD是直角三角形．

Answer 1

分析：（1）CA，DB分别与⊙O相切于点A，B，得出△CAO和△BOD为直角三角形，利用勾股定理求得OC与OD的长；
（2）连接OE，结合OC∥BE，找出条件证得△CAO≌△CEO，就可以得出结论；
（3）由（2）CD是⊙O切线，利用切线长定理得出CD的长，利用勾股定理的逆定理求证结论成立．

解答：（1）解：∵CA，DB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠CAO=∠BOD=90°，
∴△CAO和△BOD为直角三角形；
又OA=OB=

1

2

AB=

3

2

，
则OC=

OA2+AC2

=

( 3 2 )2+12

=

13

2

；
OD=

OB2+BD2

=

( 3 2 )2+( 9 4 )2

=

3 13

4

；

（2）证明：
如图，

连接OE，则OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵OC∥BE，
∴∠OBE=∠AOC，∠OEB=∠EOC，
∴∠AOC=∠EOC，
又∵OA=OE，OC=OC，
∴△CAO≌△CEO，
∴∠OEC=∠OAC=90°，
∴CD是⊙O切线；

（3）证明：
∵CA，DB分别与⊙O相切于点A，B；CD是⊙O切线；
∴CE=CA=1，DE=DB=

9

4

，
∴CD=CE+DE=

13

4

；
∵OC²=

13

4

，OD²=

117

16

，CD²=

169

16

，
OC²+OD²=CD²，
∴△COD是直角三角形．

点评：此题考查切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理以及勾股定理逆定理、三角形全等的判定与性质等知识点．