题目内容
如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推．（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求第1个平行四边形OBB1C，第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．
分析：（1）直角三角形ABC中，有斜边的长，有直角边AB的长，BC的值可以通过勾股定理求得，有了矩形的长和宽，面积就能求出了．
（2）不难得出OCB1B是个菱形．那么它的对角线垂直，它的面积=对角线积的一半，我们发现第一个平行四边形的对角线正好是原矩形的长和宽，那么第一个平行四边形的面积是原矩形的一半，依此类推第n个平行四边形的面积就应该是
×原矩形的面积．由此可得出第2个和第6个平行四边形的面积．
（2）不难得出OCB1B是个菱形．那么它的对角线垂直，它的面积=对角线积的一半，我们发现第一个平行四边形的对角线正好是原矩形的长和宽，那么第一个平行四边形的面积是原矩形的一半，依此类推第n个平行四边形的面积就应该是
| 1 |
| 2n |
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB=12
∴∠ABC=90°，BC=
=
=16
∴S矩形ABCD=AB•BC=12×16=192．
（2）∵OB∥B1C，OC∥BB1，
∴四边形OBB1C是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四边形OBB1C是菱形．
∴OB1⊥BC，A1B=
BC=8，OA1=
OB1=
=6；
∴OB1=2OA1=12，
∴S菱形OBB1C=
BC•OB1=
×16×12=96；
同理：四边形A1B1C1C是矩形，
∴S矩形A1B1C1C=A1B1•B1C1=6×8=48；
‥‥‥
第n个平行四边形的面积是：Sn=
∴S6=
=3．
∴∠ABC=90°，BC=
| AC2-AB2 |
| 202-122 |
∴S矩形ABCD=AB•BC=12×16=192．
（2）∵OB∥B1C，OC∥BB1，
∴四边形OBB1C是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四边形OBB1C是菱形．
∴OB1⊥BC，A1B=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| OB2-A1B2 |
∴OB1=2OA1=12，
∴S菱形OBB1C=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
同理：四边形A1B1C1C是矩形，
∴S矩形A1B1C1C=A1B1•B1C1=6×8=48；
‥‥‥
第n个平行四边形的面积是：Sn=
| 192 |
| 2n |
∴S6=
| 192 |
| 26 |
点评：本题综合考查了平行四边形的性质，菱形的性质和勾股定理等知识点的综合运用，本题中找四边形的面积规律是个难点．
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