题目内容
【题目】已知抛物线C:y=(x+2)[t(x+1)-(x+3)],其中-7≤t≤-2,且无论t 取任何符合条件的实数,点A,P 都在抛物线C 上.
(1)当t=-5时,求抛物线C 的对称轴;
(2)当-60≤n≤-30 时,判断点(1,n)是否在抛物线C上, 并说明理由;
(3)如图,若点A在x轴上,过点A作线段AP的垂线交y轴于点B,交抛物线C于点D,当点D的纵坐标为m+时,求S△PAD的最小值.
【答案】(1)当t=-5时,求抛物线C 的对称轴为x=-
(2)当-60≤n<-54时,点(1,n)不在抛物线C上,当-54≤n≤-30时,点(1,n)在抛物线C上,理由见解析;
(3)S△PAD的最小值为
【解析】试题分析:(1)把t=5代入y=(x+2)[t(x+1)-(x+3)],求出函数解析式,在根据对称轴x=-计算得出;(2) 假设(1,n)在抛物线上,将点(1,n)代入解析式,得n=6t-12,在根据-7≤t≤-2, 得出当-60≤n<-54时,点(1,n)不在抛物线C上; 当-54≤n≤-30时,点(1,n)在抛物线C上;(3) 根据点A是抛物线与x轴的交点, 点P在抛物线C 上, 求出A(-2,0),P(-1,-2), 过点P作PN⊥x轴于点N,证△PAN≌△ABO, 得到BO=1, PA=AB=,过点D作DM⊥x轴于点M,证△DAM∽△BAO,得S△PAD=,当m取最小值-时, S△PAD的最小值为.
试题解析:
(1)当t=5时,y=-6x2-20x-16,
∵-=-,
∴对称轴为x=-.
(2)若(1,n)在抛物线上,
将点(1,n)代入解析式,得
n=6t-12.
∵ -7≤t≤-2,
∴ -54≤n≤-24.
∵ -60≤n≤-30,
∴ 当-60≤n<-54时,点(1,n)不在抛物线C上;
当-54≤n≤-30时,点(1,n)在抛物线C上.
(3)由题得A(-2,0),P(-1,-2).
过点P作PN⊥x轴于点N,可得
PN=AO=2,∠PNA=∠AOB=90°.
∵ PA⊥AB,
∴ ∠PAN+∠BAO=90°.
又∵ ∠ABO+∠BAO=90°,
∴ ∠PAN=∠ABO.
∴ △PAN≌△ABO.
∴ BO=1,
PA=AB=.
过点D作DM⊥x轴于点M,可得
∠DMA=∠BOA=90°.
又∵ ∠DAM=∠BAO,
∴ △DAM∽△BAO.
∴ .
∴ AD=.
∴ S△PAD=APAD=.
∵ A(-2,0),B(0,1),
∴ 直线AB的解析式为y=x+1.
当y=m+时,x=2m-1.
把点D(2m-1,m+)代入抛物线C的解析式,得t=1+ .
∵ -7≤t≤-2,
∴ -≤m≤-.
∴ m+>0.
∴ S△PAD= (m+ ).
∵ >0,
∴ S△PAD随m的增大而增大.
∴ 当m取最小值-时, S△PAD的最小值为.
点睛:以二次函数为背景的几何图形变换问题,其核心思想方法主要有分类讨论思想,函数与方程思想,树形结合思想,转化思想,待定系数法,配方法等,要用运动和变化的眼光去观察,研究图形,抓住其中的等量关系和变量关系,综合分析问题 和解决问题的能力.