题目内容
【题目】已知:如图,△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O交AB于点D,过点D作DE⊥AC于点E,交BC的延长线于点F.
求证:
(1)AD=BD;
(2)DF是⊙O的切线.
【答案】(1)证法一:连结CD,
∵BC为⊙O的直径
∴CD⊥AB
∵AC=BC
∴AD=BD.
证法二:连结CD,
∵BC为⊙O的直径
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵AC=BC,CD=CD
∴△ACD≌△BCD
∴AD=BD
(2)证法一:连结OD,
∵AD=BD,OB=OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切线.
证法二:连结OD,
∵OB=OD
∴∠BDO=∠B
∵∠B=∠A
∴∠BDO=∠A
∵∠A+∠ADE=90°
∴∠BDO+∠ADE=90°
∴∠ODF=90°
∴DF是⊙O的切线.
【解析】试题分析:(1)由于AC=AB,如果连接CD,那么只要证明出CD⊥AB,根据等腰三角形三线合一的特点,我们就可以得出AD=BD,由于BC是圆的直径,那么CD⊥AB,由此可证得.
(2)连接OD,再证明OD⊥DE即可.
试题解析:(1)连接CD,
∵BC为⊙O的直径,
∴CD⊥AB.
∵AC=BC,
∴AD=BD.
(2)连接OD;
∵AD=BD,OB=OC,
∴OD是△BCA的中位线,
∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,
∴DF⊥OD.
∵OD为半径,
∴DF是⊙O的切线.
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